Arend Heyting 著
Walt 译
(注: 原文发表于1956年)
参加者: Class, Form, Int, Letter, Prag, Sign
Class: 你好啊, Int先生。这么好的天气, 没进城逛逛?
Int: 冒出了个新想法, 就去图书馆把它写了出来。
Class: 够刻苦的啊! 最近怎么样?
Int: 挺好的。咱们喝点什么吧?
Class: 谢谢。我敢打赌, 你一定又是在琢磨你那爱不释手的“拒绝排中
律”了吧? 我就是搞不明白, 逻辑在哪儿都可靠, 怎么偏偏会栽
在数学里!
Int: 我们以前就谈过这个问题。为了描述某些对象, 换一种逻辑也许
更精确, 这个想法以前就有过一些讨论。但, 是Brouwer 第一个
发现了一种对象, 它们确实需要另外一种形式的逻辑。这种对象
就是“心智的数学构造”。之所以如此, 是因为数学从一开始就
要和无穷打交道, 而日常的逻辑是为了在有限集合上进行推理用
的。
Class: 我知道。但是在我看来, 逻辑是普遍适用的, 不管对有限还是无
限。
Int: 你应该去了解 Brouwer的纲领。它要研究的是心智的数学构造本
身, 而不去关心构造出来的对象的本质, 比如能否独立于我们关
于它们的知识而存在什么的。正是这一观点直接导致了对排中律
的拒绝. 我最好还是用例子来说明。
让我们来比较以下两个定义所定义的自然数K和L:
I. K是使K-1也是素数的最大素数, 当这样的数根本不存在时,
K就是1。
II. L是使L-2也是素数的最大素数, 当这样的数根本不存在时,
L就是1。
经典数学忽略了这两个定义的一个明显不同的特征, 这就是: K
实际上是算出来的(K=3), 而我们目前还没有办法算L, 因为我们
不知道是否有无穷多对孪生素数。因此, 直觉主义者拒绝用定义
II来定义一个整数; 他们认为一个良定义的整数必须给出计算它
的方法。这一思路导致了对排中律的拒绝, 因为如果孪生素数序
列不是无限的就是有限的, 那II就定义了一个整数。
Class: 有人可能要反驳说: 我们关于最后一对孪生素数存在与否的知识
状况纯粹是偶然的, 这跟数学真理的问题是完全不沾边的。要么
孪生素数有无穷对, 这时L=1; 要么孪生素数有有穷对, 这时L是
最后一对孪生素数中大的那一个。无论哪种情形发生, L都是明
确定义的; 我们能或者不能计算它又有什么关系呢?
Int: 你的辩解本质上是一种形而上。如果“存在”的意思不是“被构
造”，那它一定含有形而上意义在里面。了解这种意义或判定它
是否站得住脚根本不应是数学的任务。我们不反对一些数学家个
人在私下里接受自己所喜爱的形而上理论,但Brouwer的纲领是要
把数学当作比形而上更简单, 更直接的东西来研究。在研究心智
的数学构造时, “存在”只能是“被构造”的同义语。
Class: 那就是说, 只要我们还没解决孪生素数的问题, II就不能当作一
个整数的定义; 而那个问题一旦解决, 它又突然间是个定义了。
假设1970年1月1日证明了有无穷个孪生素数, 那时自然L=1;可是
在那以前L就不等于1么？
Int: 一个数学断言要肯定特定数学对象被构造出来的事实。显然, 一
个数学对象没被构造出来, 它就是没被构造出来。把这个结论用
到你刚才的例子上, 我们看到: 1970年1月1日以前, L=1是没有
证明的。但这和你说的意思是不一样的。我觉得, 为了澄清你的
问题中的涵义, 你还是需要借助于形而上的概念: 在不依赖于我
们的知识状况的数学事物的世界里, L=1在某种绝对的意义上成
立。但是我重申, 数学不应该依赖于这样的概念。事实上, 所有
数学家, 甚至连直觉主义者们都被数学所具有的某种感性上的永
恒的真理性所折服。可是一旦要把这种感觉精确地定义出来, 人
们就迷失在形而上的困惑当中了。避免这种迷失的唯一途径就是
把形而上从数学中驱逐出去。我说的研究数学构造的本身以及经
典逻辑对于这种研究而言是不够精确的, 就是这个意思。
Class: 我们的朋友Form和Letter来了。喂, 伙计们, 我们在进行关于直
觉主义的最有趣的讨论。
Letter: 你就不会跟 Int这个可爱的老家伙说点别的吗? 他已经完全不能
自拔了耶。
Int: 当你被一个事物的美所打动时, 会把整个生命都奉献给它的!
Form: 一点不假! 我只是纳闷: 象直觉主义这么个充满了不确定性的玩
意儿里边也会有什么美可言! 你的所有术语都是未经严格定义的,
你也没有给出精确的推导规则。这么一来, 人们难免会犯嘀咕,
拿不准什么样的推导是正确的, 什么样的推导是错误的。在日常
言语中, 没有哪个词语有完全确定的意义, 总会有自由发挥的余
地。发挥余地越大, 概念就越模糊。这就造成了人们之间的误解,
以及非形式化的数学推理的泛滥。达到绝对严格性的唯一途径是
从数学命题中抽掉一切意义, 把它们当作纯粹的符号序列来研究,
不管它们本来要传达什么意义。这才有可能提出从已知命题推出
新命题的确定性的规则, 避免因语言的模糊而产生的不确定的结
果。
Int: 我意识到形式主义者和直觉主义者的主要差别其实是一个偏好问
题。在 Hilbert称之为“元数学”的那部分数学里面，你们其实
也使用有意义的推理，但你们的目的是要把这部分推理同那些纯
形式化的数学推理加以区别，使你们进行的推理尽可能简单。我
们则与此相反。我们感兴趣的并不是数学的形式化的一面，而恰
恰是数学里出现的某一类推理；我们试图尽可能使它发挥得淋漓
尽致。这种偏好的根源在于：我们在这个地方看到了人类心智最
本质的特长。
Form: 既然你不跟形式主义过不去，我也不会跟直觉主义过不去。形式
主义者是人类当中最温和的一些人。任何理论都可以形式化，从
而成为我们方法的印证。直觉主义数学可以也必将得到这样的处
理。
Class: 那就是说，直觉主义数学应作为数学的一部分来研究。在数学中，
我们研究给定前提的推论；直觉主义的前提可能是有趣的，但它
们没有权利垄断数学。
Int: 我们也没有说要垄断呀！你们能承认我们的概念的一席之地，我
们就很满足了。但是我要反对认为直觉主义是从一些多少带有任
意性的特定前提派生出来的那种说法。直觉主义的研究对象----
构造性数学思维----唯一地决定了它的前提和地位：不是在经典
数学的内部，而是和经典数学平起平坐。因为经典数学的研究对
象是另外的东西，且不管它到底是什么。从这点上看，形式主义
者和直觉主义者达成携手共建直觉主义数学形式化大厦的默契也
是不可能的。不错，即使在直觉主义数学中，一个理论的已完成
部分是有可能形式化的。这种形式化对意义的反映在目前将是很
有用的。我们可以把这样的形式系统看成是在某一合适的语言内
表达数学思维的语言表达式。
可是如果采取这样的观点，我们就会碰上语言的内在歧义性障碍。
由于词语的意义永远也无法精确到足以排除一切可能的误解的程
度，我们永远也不能从数学上承诺这样的形式化系统正确地表达
了我们的数学思维。
然而我们不妨换个角度看。这些形式系统自身倒是一些非常简单
的数学结构；其中的实体（系统中的符号）能使人联想到另一些
（往往是非常复杂的）数学结构。这样，才有可能从数学内部进
行形式化，形式化才成为强有力的数学工具。当然，人们永远不
敢保证该形式化系统能完全表示任何一个领域的数学思维；随时
有可能出现新的推理方法来迫使我们对该形式化系统进行扩充。
Form: 我们与这种情况为伍已经有些年了。Godel的不完全性定理表明：
数论的任何一个自恰的形式系统都能以多种不同的方式进行自恰
的扩充。
Int: 直觉主义也在独立地进行着形式化的工作；不同的是只有它是在
遵循数学构造的本来面貌。
Class: 使我感到困惑的是你们二位都似乎在玩空手道，好象要建立空中
楼阁的感觉。既然你们把颠扑不破的逻辑准则排除在外，你们凭
什么说你们的推理是正确的？昨天我和Sign谈过，他的相对主义
比你们更甚。他闪烁其辞，圆滑无比，从不做出任何坚实的结论。
我对抛弃逻辑（或者说，常识）的支持另搞一套的这种自取灭亡
的做法感到恐惧。
Sign: 说曹操，曹操就到。你们说我什么坏话呢？
Class: 我刚提到我们昨天的谈话。这不，又冒出两个该死的相对主义者。
我正在抨击他们。
Sign: 我乐于奉陪，但首先让我们听听你的对手是怎么说的。这位是我
的朋友Prag，他对讨论也很感兴趣耶。
Form: 你好！你是搞科学哲学的？
Prag: 我讨厌形而上！
Int: 欢迎你，哥们儿！
Form: 那么，我倒宁愿暂时先不为我自己的学派辩护，既然今天的主要
话题是直觉主义，说别的容易把思路搞混。我觉得你们在直觉主
义逻辑的问题上都搞错了。它确实已经被形式化了，而且大量学
者在这一研究领域内做了很有价值的工作。这证明直觉主义者是
尊重逻辑的，完全不是你们想象的那个样子。只不过他们搞的不
是你们所习惯的那种逻辑而已。
Int: 抱歉，让你失望。我的立足点并不是逻辑。怎么会是逻辑呢？逻
辑自己还得找个基础呢，结果是造作有余、直观不足，远不如数
学。一个数学构造对于心智来说应该是直接的，结果应该是清楚
的，不需要什么别的东西来给它作基础。人们不需要借助任何逻
辑就能判别出一个推理可靠不可靠，只凭一颗科学的良心足矣。
不过，确实发展出了一种直觉主义逻辑。为了说明它的重要性，
我们来举一个例子。令A表示一个整数“能被8整除”的性质，B
表示一个整数“能被4整除”的性质，C表示“能被2整除”的性
质。由于8a可以写成4*2a，由这个数学构造P我们可得性质“A推
出B”（A-->B）。同理，构造Q（4a=2*2a）表明B-->C。先构造P
再构造Q，我们就得到8a=2*(2*(2a))，这表明A-->C。你看，逻辑
定理都得出来了。从得出它的过程来看，它跟普通的数学定理没
什么两样，只不过更一般一点，好象“加法具有交换性”比“
2+3=3+2” 更一般一样的道理。每个逻辑定理都是如此：他们不
过是具有极端一般性的数学定理而已。就是说，逻辑是数学的一
部分，在任何意义上都不能够成为数学的基础。当然，这只是我
很自然地推出来的逻辑概念。如果出于其他目的的需要，是有可
能也有必要发展出其他形式的逻辑的。
Letter: 在我看来，所有这些困难都是人为地想象出来的。数学是非常简
单的东西。我定义一些符号，并且规定一些把符号连接起来的规
则。不就是这么回事么。
Form: 可是你需要一些推理模式来证明你的形式系统是自恰的。
Letter: 我为什么要证明自恰性？别忘了，我们是为了应用的目的而构造
形式系统的，它们在一般意义上被证明是有用的，就算你证明了
你的系统里每条公式都是可推出的，你还是很难说明它们为什么
有用。自恰性完全可以从我们的工作中获得实践上的保证。我对
直觉主义的异议在于：数学里边是否真的有无穷什么事。我写下
一个符号，比如说a， 把它叫做整数基数。然后我定下一套符号
处理规则，碰巧符合 Class先生关于整数基数的理解。可是在做
这一套的时候，我完全是在对有限进行操作。只要无限一搅和进
来，推理一定会被搞得夹缠不清。所以，直觉主义关于无限的那
些论断在我看来是极其含糊的. 当然, 就连“10的10的10次方”
是什么意思，也是有歧义的。
Int: 你的“极端有限主义”给消除误解提供了最安全的准则，但在我
们看来，你连“理解”本身都否定了，这让人很难接受。小孩子
自打上学起就知道自然数是什么，他们都知道自然数序列数下去
是没有穷尽的！
Letter: 他们只是在被灌输以后自以为知道而已。
Int: 这无可非议。语言交流都可以被解释成“灌输”。Euclid在他的
《几何原本》第IX卷第20条命题中证明了存在无穷多个素数之后，
就很清醒他说了些什么。象自然数这么初等的概念，凡是会思考
的人没有不熟悉的，在直觉主义数学里是非常基本的。我们并不
声称对它的理解在任何绝对的意义下是确定的或明确的，因为那
是不现实的。但我们认为，对于建立数学来说，它已经是足够的
了。
Letter: 我的反对意见并不是象Class先生那样认为你们假设的东西太少，
恰恰相反，我认为你们假设的太多了。你们从你们认为的直观上
清楚的、无须任何解释的特定原则出发，排斥了其他类型的推理，
却不说明这种区分的根据是什么。例如，对大多数人来说，排中
律和完全归纳原则的成立依据应该是差不多同样有力的。你们凭
什么拒绝前者而承认后者？这种对基本原则的随意选择给你们的
体系增添了浓重的教条主义色彩。
Int: 确实，对于把直觉主义的断言当作事实来读的人来说，这些断言
显得教条了一点，但我们的本意绝非如此。如我已经对Class先生
说的那样，直觉主义数学是由心智的数学构造组成的。一个数学
定理表达了一个纯经验的事实，即一项特定的构造的成功。比如，
“2+2=3+1” 必须被看作是下列陈述的缩写：“我已经完成了由
‘2+2’和‘3+1’所分别表示的数学构造，结果发现它们给出了
同样的结果。”现在我要问：教条的成分从哪里能够溜进来？不
可能在构造的过程中溜进来，因为我们已经很明确构造本质上是
一种行为；也不可能从关于构造的陈述得来，因为它们都是纯经
验的结果。
Letter: 不错，你们主张这些心智的构造导致某种真理；它们不是纸牌游
戏，而必须是在一定意义上对人类有价值的东西。否则你就会给
别人带来不快。就是在这些地方我看到了教条成分。数学直觉给
了你洞察客观和永恒真理的灵感；这不仅带有教条味道，简直带
有神学的味道了！
Int: 在前面一个例子里，我的数学思维是我个人智力生活的组成部分，
它与我的个人心智相契合，与其他思维没什么两样。我们通常都
承认他人的思维与我们自己的思维多有类似之处，当我们用言辞
表达我们的思想时，别人是可以理解我们的意思的，但我们没有
把握是否一定可以被别人准确无误地理解。在这点上，数学和其
他学科并无不同。如果你认为这就是教条，那人类的所有推理都
是教条了！数学思维的特征在于，它不传达关于客观外界的真理，
而只关心心智的构造。为了建立数学理论，不应有任何哲学上的
前提条件，但是我们在从事这一活动时所持的态度则受我们的哲
学观念的左右。
Sign: 你处理语言的方式是一种倒退。原始语言就有你描述的这种浮动
的、不稳定的特性。日常语言仍然以此为主。但是自从科学思维
发端之日，语言的形式化就提上了日程。在近几十年里，符号主
义者们研究了这一过程。这一过程还没有完结，严格形式化的的
语言还有待建立。
Int: 如果语言的形式化真是科学发展的趋势的话，那直觉主义数学倒
是真的不配称为科学了。毋宁说它是一种生命的现象、人的一种
自然活动，它自身反而是科学方法研究的对象。事实上已经有人
做过这样的研究了，例如直觉主义推理的形式化和符号主义方法。
但是显然，这种研究连同其结果都并不是直觉主义数学的一部分。
所有这些对直觉主义数学的科学研究都决不会产生对它的更加全
面、更加明确的描述，最多不过是搞出另一个关于某类现象的描
述性理论而已。不管这些“元”直觉主义数学的考虑是多么引人
入胜，它自身却不可能被接纳为直觉主义数学的一部分。当然，
这些评论并不适用于数学内部的形式化运动，如我刚才所说的那
样。
Prag: 我来为Sign先生补充几句。通过语言的形式化，科学前进了。科
学之所以采取这种方法，是因为它管用。特别是当代这种纯形式
化的语言，好象十分的有用。现代科学的想法是搞出一个现成的
形式化系统的“军火库”，供想建立形式化理论的人挑选符合自
己手头实验结果的形式化系统，随用随取。形式化系统的好坏，
应该在这种有用性准则的基础上进行衡量，而不应该采用出于教
条主义或形而上的原因而偏爱的那种含糊的、任意的解释去衡量。
Int: 看上去，从有用性角度来评价数学系统是相当合理的。我得承认，
从这个角度去评价的话，直觉主义只有很少的胜算被接受，因为
在目前去强调它在物理上的一点微弱的应用前景还为时尚早。我
倒是觉得它在哲学、历史和社会科学方面的应用前景会好得多。
其实，从直觉主义观点看，数学是研究人的心智的某些特定功能
的学问，因此好象跟上述学科有更近的渊源关系。但是，有用性
真的能成为衡量价值的唯一标准吗？我们很容易就能举出一大堆
有价值的活动，如艺术、体育、轻松的娱乐等等, 它们并不在任
何意义上构成对科学的支持. 我们断定直觉主义数学具有这类价
值, 这价值很难事先进行定义, 但在从事这种工作的时候会明确
地感受到。你们知道, 哲学家们为了定义艺术中的价值费了多少
脑筋, 可是任何一个受过教育的人都能感受到这种价值。直觉主
义数学的价值与此相类似。
Form: 对绝大多数数学家来说, 这一价值带来的致命伤害在于: 你们摧
毁了绝大部分数学精华。数学基础研究中有价值的方法理应保留
尽可能多的财富。本来, 连构造性方法也是可以成功的, 只是别
象直觉主义数学做得那么过分就行。在这一点上, 甚至在直觉主
义者的小圈子里对构造性的界定也并不完全一致。给人留下深刻
印象的一个事例是Griss对“否定” 概念的排斥。其他直觉主义
者还都认为接受否定概念是天经地义的嘛。所以我觉得, 如果对
构造性方法采取某种宽容些的理解, 还是可以把经典数学里的精
华部分都保留下来的。
Int: 由于直觉主义者使用的是非形式化的语言, 他们的观点稍有分歧
是意料之中的事情。虽然有些人的迅速崛起和激烈言辞引起一些
反响, 但绝没到危言耸听的地步, 因为他们关心的都只是细枝末
节, 远未对基本观念产生影响。因此我认为, 更宽泛的构造性概
念目前是没有可能得到直觉主义的支持的。至于你批评我们把数
学弄得残缺不全, 我要说这乃是采取我们的立场带来的不可避免
的后果, 就好象拆除华而不实的装饰。至少我们还可以用细微差
别的魅力和富于智慧的方法来加以补偿, 丰富数学思想的宝库。
Form: 我们的讨论据称是关于价值的讨论。照你所说, 你们是愿意承认
数学中的其他观念的价值的, 只不过你断定你们的观念有它自身
的价值罢了。是这样的吗？
Int: 的确, 数学基础中我所面对的唯一的正面的论点就是经典数学具
有明确的意义; 坦白地说, 我对此难以理解。但是, 就算是那些
自以为对此非常理解的人, 也完全可以领会我们的观点, 承认我
们工作的价值。
Letter: 悖论表明, 经典数学也不是十分明确的。
Form: 是的. 但是, 直觉主义的批评走得更远, 光是为了避免悖论又何
必对数学动如此大的手术呢？Int先生刚才对自己观点的讲解中,
对悖论甚至提都没有提到。无疑, 在他眼里, 自恰性只不过是直
觉主义的一个歪打正着的副产品罢了。
Sign: Int先生,你说你的行为是一种心智的构造。然而, 心智过程只有
通过它诱发的动作才能被观察到。就你的例子而言, 就是只有通
过你说出来的话和写下来的公式才能被观察到。这不恰恰意味着,
要研究直觉主义, 只能通过研究它构造出来的形式系统吗？
Int: 当我看到那边的一棵树, 我很容易相信我看见了一棵树。要是有
人教导我说, 这实际上是光波到达我的眼睛, 诱发我构造出一棵
树的形象, 这样的知识, 你说我接受起来累不累? 同样, 跟你说
话时, 我很容易相信我是在用我的观点影响你, 你要是教导我说
我实际上是在制造空气的振动, 这导致了你做出相应的动作, 比
如制造另一次空气的振动, 我接受起来当然会有问题。两种情形
下, 我的第一感觉都是自然的, 随后接受的说教都是理论的构造。
人们往往太容易忘记, 这种构造的真理性取决于当时的科学发展
水平, 那个“实际上”云云, 其实只是“按照当代科学家的观点”
的代名词罢了。因此, 在描述直觉主义数学的时候, 我喜欢提倡
这样的态度, 就是: 我向听者传达我的思想, 这些词语不要按照
什么哲学体系中的意义去理解, 就按照日常生活中的意义去理解
好了。
Sign: 照你这么说, 直觉主义作为人与人交互的一种形式, 乃是一种社
会现象, 属于文明史的研究范畴喽？
Int: 直觉主义的研究是这样, 但直觉主义的实践不是。我很同意Prag
先生的话: 生命之树常绿, 而理论是灰色的。如果我们愿意, 我
们会把理论甩给别人。让我的追随者们去操心我为什么建立这些
心智构造以及他们如何对之进行哲学上的解释吧, 对我来说, 只
要我的学说能对人类思维作出一些澄清, 我就心满意足了。
Prag: 哲学家们经常犯这样的错误: 他们总是爱在自己其实只是一知半
解的问题上信口胡说。我们就处在陷阱的边缘。不知 Int先生是
否愿意给出一些直觉主义推理的例子, 也好让我们有个具体的东
西去品评啊。
Int: 肯定可以。我甚至觉得, 短短几堂课会比冗长的讨论更能带给你
们真知灼见。这里我要动员那些热衷于要我对直觉主义数学做出
哲学解释的先生们, 跟我去我的课堂吧!
(完)
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(订阅本版)
2006/4/4 0:46:00
顶端 
关于直觉主义数学的一场讨论(19324字) － Logician，2006年4月4日
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