1、当A为空集时，等式显然成立。
2、容易证明，等式成立的一个充分必要条件是“A为传递集，且对A中每个元素x_0，都存在无穷的∈链，满足：x_i∈x_{i+1}且x_{i+1}∈A, i=0,1,2,.....”
3、利用这个充分必要条件，容易证明：任取一个传递集 B_0，对所有 i=0,1,2,3,...，令 B_{i+1} = {B_i} ∪ C_i，其中 C_i 是 B_i 的任意子集。则当 A = B_0∪{B_0,B_1,B_2,B_3,...} 时，等式成立。
4、考虑“条件3”的一些特例，如：
(a) 令 B_0 为空集，对所有 i=0,1,2,...，取 C_i=B_i。则 A = ω，为自然数集。
(b) 令 B_0 = ω，对所有 i=0,1,2,...，取 C_i=B_i。则 A = ω+ω，是另一个极限序数。
(c) 令 B_0 为空集，对所有 i=0,1,2,...，令 C_i 为空集i。则 A = {Φ,{Φ},{{Φ}},...}。
这些情况下，等式“A=∪A”都成立。
5、可以证明，所有的极限序数（“极限序数”的定义参见《离散数学教程》第104页，“定义6.8”）都是等式“A=∪A”的解。证明见“《离散数学教程》习题解答”中1991年离散真题第七大题第1小题的解答。
6、条件3和条件5给出的都是充分条件而不是必要条件。目前我还没有找到一种可以枚举该等式所有解（或详细描述所有解在结构上的共性）的方法。不知道谁有进一步的思路呢？
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2006/5/16 11:15:00
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[原创]集合等式“A=∪A”成立的条件