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     lalalalalala 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    以下是引用Logician在2006-8-13 13:19:00的发言：
    后两步很显然。
    但第1步如果要用证明五色定理的思路的话，就需要证明：从G*中任取一个度数不超过4的顶点v，则G*-v的每个连通分支中都还有度数不超过4的顶点。
    这个命题我不知道如何证明。

    PS：Heawood定理中用的是“G-v的每个连通分支中都还有度数不超过5的顶点”，而这一点是由定理11.12（即，简单平面图中必有度数不超过5的顶点）保证的。
    我不知道如何由题设证明“G*-v的每个连通分支中都还有度数不超过4的顶点”。


    Heawood定理的思路应该是：
    “G”的每个连通分支中都存在不超过5度的顶点，
    不是“G-v”吧。

    而G*连通，只需证明G*中存在不超过4度的顶点。

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/8/13 16:07:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    发贴心情 
    以下是引用lalalalalala在2006-8-13 16:07:00的发言：
    Heawood定理的思路应该是：
    “G”的每个连通分支中都存在不超过5度的顶点，
    不是“G-v”吧。

    而G*连通，只需证明G*中存在不超过4度的顶点。


    你再看看Heawood定理的证明？
    证明中有一句“设G_1=G-v，则G_1是k阶图，由归纳假设，G_1是5可着色的”。
    如果要直接“仿Heawood定理的证明”（而不使用carroty的方法），那么就要“设G*_1=G*-v，则G*_1是k阶图”，可下一步，我们没法证明G*_1仍满足题设（即，我们没法证明G*_1中仍有度数不超过4的顶点），从而没法“由归纳假设”说明G*_1是4可着色的。不是吗？

    ----------------------------------------------
    Three passions, simple but overwhelmingly strong, 
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    suffering of mankind.
                                - Bertrand Russell

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/8/13 18:08:00
     
     lalalalalala 帅哥哟，离线，有人找我吗？
      
      
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    发贴心情 
    以下是引用Logician在2006-8-13 18:08:00的发言：
    你再看看Heawood定理的证明？
    证明中有一句“设G_1=G-v，则G_1是k阶图，由归纳假设，G_1是5可着色的”。
    如果要直接“仿Heawood定理的证明”（而不使用carroty的方法），那么就要“设G*_1=G*-v，则G*_1是k阶图”，可下一步，我们没法证明G*_1仍满足题设（即，我们没法证明G*_1中仍有度数不超过4的顶点），从而没法“由归纳假设”说明G*_1是4可着色的。不是吗？

    为啥要在G* - v中找度数不超过4度的顶点？
    我假设的就是n = k (k >= 4)时，结论成立（是4-可着色的）。

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/8/13 19:34:00
     
     Logician 帅哥哟，离线，有人找我吗？天蝎座1984-10-28
      
      
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    以下是引用lalalalalala在2006-8-13 19:34:00的发言：
    为啥要在G* - v中找度数不超过4度的顶点？
    我假设的就是n = k (k >= 4)时，结论成立（是4-可着色的）。


    请你完整地叙述一下你的归纳假设。
    你的归纳假设只能是“当n=k时，所有符合题目条件的图（即，所有有n个顶点，且至少有一个顶点的度数不超过4的简单平面图）都是4可着色的”，而不是“当n=k时，所有n阶简单平面图都是4可着色的”，对吧？
    如果不在G* - v中找度数不超过4度的顶点，归纳假设就用不上了。
    你的证明实际上是把“所有k阶简单平面图都是4可着色的”当作归纳假设了。

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    以下是引用lalalalalala在2006-8-13 19:34:00的发言：
    为啥要在G* - v中找度数不超过4度的顶点？
    我假设的就是n = k (k >= 4)时，结论成立（是4-可着色的）。

    已知：对任意k阶简单平面图G，如果G中有度数不超过4的顶点v，则G是4可着色的。
    求证：对任意k+1阶简单平面图G'，如果G'中有度数不超过4的顶点v'，则G'是4可着色的。

    这才是正确的“归纳步骤”。
    你的证明相当于将已知条件放大到了“对任意k阶简单平面图G，G是4可着色的”（这正是carroty说的，“相当于在证明4CC了”）。

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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/8/13 20:06:00
     
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    以下是引用Logician在2006-8-13 20:06:00的发言：
    已知：对任意k阶简单平面图G，如果G中有度数不超过4的顶点v，则G是4可着色的。
    求证：对任意k+1阶简单平面图G'，如果G'中有度数不超过4的顶点v'，则G'是4可着色的。

    这才是正确的“归纳步骤”。
    你的证明相当于将已知条件放大到了“对任意k阶简单平面图G，G是4可着色的”（这正是carroty说的，“相当于在证明4CC了”）。


    “已知：对任意k阶简单平面图G，如果G中有度数不超过4的顶点v，则G是4可着色的。”
    为什么要把“如果G中有度数不超过4的顶点v”
    放在“平面图G”的后面，我放前面了。

    我是这么考虑的：

    首先找出满足下面三条性质的平面图，
    1。连通。
    2。无桥。
    3。存在度数不超过4的顶点。
    然后在这个范围内进行讨论。

    命题：“这类图”是4-可着色的。
    证明：
    对n作归纳。
    (1)n <= 4时，显然成立。
    (2)设n = k(k >= 4)时成立，当n = k + 1时，
    G中显然存在度数不超过4的顶点v，设G_1 = G - v,
    G_1是k阶图，由归纳假设知，G_1是4-可着色的，
    下面证G。
    。。。

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/8/14 3:10:00
     
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    以下是引用Logician在2006-8-13 13:19:00的发言：
    PS：Heawood定理中用的是“G-v的每个连通分支中都还有度数不超过5的顶点”，
    而这一点是由定理11.12保证的。

    知道“G - v”是k阶的以后，
    由归纳假设就可以得出G - v的每个连通分支是5-可着色的了，
    为什么还要知道“G - v的每个连通分支中都还有度数不超过5的顶点”？

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/8/14 3:18:00
     
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    以下是引用lalalalalala在2006-8-14 3:10:00的发言：
    我是这么考虑的：

    首先找出满足下面三条性质的平面图，
    1。连通。
    2。无桥。
    3。存在度数不超过4的顶点。
    然后在这个范围内进行讨论。

    命题：“这类图”是4-可着色的。
    证明：
    对n作归纳。
    (1)n <= 4时，显然成立。
    (2)设n = k(k >= 4)时成立，当n = k + 1时，
    G中显然存在度数不超过4的顶点v，设G_1 = G - v,
    G_1是k阶图，由归纳假设知，G_1是4-可着色的，
    下面证G。
    。。。


    你的倒数第二句：“G_1是k阶图，由归纳假设知，G_1是4-可着色的”是错的。
    我再问一遍，你的“归纳假设”是什么（请完整叙述）？

    我再叙述一下“归纳法”原理。
    归纳法原理是把待证看成一个与自然数一一对应的命题序列P(1),P(2),....
    以本题为例，归纳法是把原题所成这样一个命题序列。
    P(1):如果一个1阶简单平面图中含有度数不超过4的顶点，那么这个图是4可着色的。
    P(2):如果一个2阶简单平面图中含有度数不超过4的顶点，那么这个图是4可着色的。
    ......
    P(n):如果一个n阶简单平面图中含有度数不超过4的顶点，那么这个图是4可着色的。

    你需要做的是：
    首先证明P(1)。这是简单的。
    然后证明P(n)=>P(n+1)。你在证明"P(n)=>P(n+1)"时，你所能使用的“归纳前提”是P(n)，也即，“如果一个n阶简单平面图中含有度数不超过4的顶点，那么这个图是4可着色的。”而你却说“G_1是k阶图，由归纳假设知，G_1是4-可着色的，”。请问，“由归纳假设”如何能从“G_1是k阶图”推出“G_1是4-可着色的”？


    [此贴子已经被作者于2006-8-14 22:03:22编辑过]

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    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/8/14 15:43:00
     
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    发贴心情 
    以下是引用lalalalalala在2006-8-14 3:18:00的发言：
    知道“G - v”是k阶的以后，
    由归纳假设就可以得出G - v的每个连通分支是5-可着色的了，
    为什么还要知道“G - v的每个连通分支中都还有度数不超过5的顶点”？


    我不知道你是怎么理解“数学归纳法”的。
    虽然我们证明时，我们只做两件事：
    （1）证明“基底”（即P(1)为真）。
    （2）证明“归纳步骤”（即P(n)=>P(n+1)）。
    但我们在理解这个证明时，可以从“动态”的角度来理解。
    一个很好的类比是“递归函数”。
    我们用递归函数求阶乘只有2句话：F(0)=1,F(n)=n*F(n-1)。
    但我们实际求F(100)时，函数要运行101次，一直求到F(0)=1为止。

    同理，Heawood定理的证明构造性的。如果我给你一个20阶简单平面图G，你是可以按Heawood定理的证明来找出一个5着色方案的。如果你试着做一下，就会明白为什么要为什么还要知道“G - v的每个连通分支中都还有度数不超过5的顶点”了。

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    发贴心情 
    这是离散数学。学过不用，我都忘完了。感慨呀！

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    海到尽头舟作岸，山登绝顶我为峰。

    点击查看用户来源及管理<br>发贴IP：*.*.*.* 2006/8/15 23:56:00
     
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